ExtraD님의 블로그에서 Supersymmetry의 최초 발견자 중의 한사람인 Julius Wess가 세상을 떠났다는 이야기를 읽었다. 그 이름은 입자이론을 공부하는 사람이라면 아마 누구나 다 들어봤을 것이다. 거의 모든 사람이 SUSY를 공부하기 위해서 보는 Wess, Bagger, "Supersymmetry and Supergravity" 책을 통해서 말이다. 나도 물론 이 책으로 공부했다. (많은 사람들이 그러듯 8장까지만...)

본론으로 들어가서, Wess-Zumino model은 (4차원에서) 가장 간단한 초대칭 양자장론이다. 보존과 페르미온이 같은 자유도를 갖도록 Action을 적어보도록 해 보자. 일단 가장 간단하게 생각할 수 있는 것은 Weyl fermion하나와 complex scalar한 개. 이러면 페르미온의 자유도 2, 보존의 자유도 2를 얻을 수 있다. 그리고 이 둘의 질량도 같아야 할 것이다. 자, 이제 가장 단순하게 질량이 0이고 서로 상호작용하지 않는 경우를 생각해 보자. 그럼 그냥 free Weyl fermion의 라그랑지안과 free complex scalar의 라그랑지안만 더하면 된다.
 L_free = L_b + L_f = (\partial_{\mu} \phi)^2 + i \psi \sigma \cdot \partial \psi
그리고 이 이론은 초대칭적이다. 가장 단순한 이론!

하지만 우리가 원하는 것은 상호작용이 있는 이론이지 아무 상호작용도 없으면 재미가 없다. (사실 쓸모도 없고) 자, 여기다가 좀 구조를 넣어 보자. 2가지의 필드를 가지고 만들 수 있는 재규격화 할 수 있는 operator들은 사실 몇 개 안된다. 이 것들을 주르륵 나열해 보면, 질량항과 유카와 커플링, 그리고 스칼라 필드의 self-interaction(\phi^4) 밖에 없다. 초대칭성을 가지려면 두 필드의 질량, 그리고 상호작용하는 크기가 같아야 할 것이다. 이렇게 맞추면 4차원에서 가장 간단한 상호작용하는 초대칭 이론을 얻을 수 있다. 이것이 바로 WZ model이다.
 L_free + L_mass + L_yukawa + L_self

좀 더 수학적으로 깔끔하게 이 모델을 적는 방법이 있는데, superfield, superspace를 도입하는 것이다. 위에서 두가지 종류의 field가 같은 성질을 가지고 행동하니까 이 것들을 어떻게 하나의 물건으로 묶어서 같이 취급하면 좋을 것이다. 이를 위해서 chiral superfield라는 것을 도입한다. superfield는 superspace위의 함수인데, superspace란 시공간에다가 Grassman variable로 되어있는 좌표를 더 도입한 공간을 말한다. (자세한 설명은 생략) superfield를 써서 WZ model의 라그랑지안을 적으면 다음과 같다.
 L = \int d^4 \theta \Phi^\dagger \Phi + (\int d^2 \theta m/2 \Phi^2 + \lambda/3 \Phi^3 + (c.c) )

이 이론은 chiral superfield 하나만으로 적을 수 있는 가장 일반적인 이론이다. 물론 카이랄 슈퍼필드를 여러개 도입해서 일반화 할 수 있다. 위의 식에서 첫번째 부분은 Kinetic term을 주고, 나머지 부분은 상호작용을 준다. 이 뒷부분을 superpotential이라고 한다. 그리고 이 슈퍼포텐셜은 kinetic term과는 달리 chiral superfield 로만 쓰여져 있다. superpotential이 chiral superfield의 holomorphic function이어야 supersymmetry가 보존이 된다. (superpotential의 holomorphy는 아주 중요한 성질이다.)

초대칭이 있는 이론은 좋은 성질들이 많이 있다. 예를 들어서 진공에너지가 정확히 0으로 정해진다라던가, 슈퍼포텐셜이 재규격화가 되지 않는다던가. 초대칭이 아주 많은 이론(N=4 SYM, or maybe N=8 SUGRA) 같은 경우는 완전히 유한하기도 하고. 많은 물리학자들이 LHC에서 초대칭의 증거를 기대하고 있다. 과연 자연은 초대칭적인지 궁금하다.